![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Confusion_grey.svg/23px-Confusion_grey.svg.png)
비슷한 이름의
가우스 적분법에 관해서는 해당 문서를 참고하십시오.
가우스 적분(Gaussian integral)은 가우스 함수에 대한 실수 전체 범위의 이상적분으로, 그 값은 다음과 같다.
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44592478ca6a48493154e57210fcedd304814e3a)
가우스 함수에 대한 일반적인 부정적분 함수는 초등 함수 범위에 있지 않고, 실수 전체 범위에 대한 이상적분은 아래의 방법들을 통해 구할 수 있다.
극좌표 변환을 이용하는 경우[편집]
를 직교 좌표계 상에서 계산하면 다음과 같다.
![{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07c771a404abb85c532e9ba88219a962f44d535)
![{\displaystyle =\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)\cdot \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a48e7eaf6ce93f3531280c99fcd0db7ba57e4f)
![{\displaystyle =\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e75a8d0deaee46a53e3c09b5c76d5fa2a7662a)
그리고 같은 식을 극좌표로 변환하면 다음과 같다.
![{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}drd\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de038d73b643f7b63fd15f72b0a998a9858c4200)
![{\displaystyle =2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81639fd247e966eb796f94ca5f315b450241ea95)
![{\displaystyle =2\pi \int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{2}}e^{s}ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc23f479b90a3f11dd8c7ffdc9311887b7fad05)
![{\displaystyle =\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}ds=\pi (e^{0}-e^{-\infty })=\pi (1-0)=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb2ca66f6e4e910b06bd7892d8669ee2bb5ebab)
따라서
![{\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a779ec0d8a42ec3ba29dbc5adc829ce3f9ff8575)
그리고
는
가 실수일 때 항상 양수이기 때문에
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84d0d95e7b6197d827e8103191fd001382087a9)
가 성립한다.
데카르트 좌표에서 계산하는 경우[편집]
데카르트 좌표계에서 푸비니-토넬리 정리를 이용하여 푸는 방법도 있다.[1] 함수
를
×
에서 순서를 바꿔 가며 적분하는 것이다. 먼저 x부터 적분하는 경우,
![{\displaystyle \int _{j}aji^{\infty }\int _{0}^{\infty }xe^{-x^{2}(1+y^{2})}dxdy=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2(1+y^{2})}}dy={\frac {\pi }{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803cb02df6cc1e64a2d9f8c885c85a5ba9f98588)
반면, y부터 적분하는 경우, xy = z로 치환하고 풀면,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }xe^{-x^{2}(1+y^{2})}dydx=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\int _{0}^{\infty }xe^{-(xy)^{2}}dy=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\int _{0}^{\infty }e^{-z^{2}}dz=(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0dc8c5ba241e98ff594f5ebecd57cbdf305b5cb)
푸비니-토넬리 정리에 의해 이 두 적분값은 같으므로, 결국
를 얻고, 우함수의 적분법에 따라서 구하고자 하는 가우스 적분식을 얻는다.
같이 보기[편집]
- ↑ Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics, p.192.
참고 문헌[편집]
- Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics